高三数学课文导数的综合问题教案

进入高三之后，我们要开始学习一个新的知识点，也是高中三年最重要的知识点之一，这也是每年高考都会涉及的知识点之一，所以同学们们都要认真听课。今天，老师就从高三数学课文导数的综合问题教案给大家讲述导数的相关知识。

●知识梳理

1.若函数f(x)有导数，它的极值可在方程f'(x)=0的根处来考查，求函数y=f(x)的极值方法如下：

(1)求导数f'(x)

(2)求方程f'(x)=0的根;

(3)检查f'(x)在方程f(x)=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值;如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值.

2.设y=f(x)是一多项式函数，比较函数在闭区间[a，b]内所有的极值，以及f(a)和f(b)，最大者为最大值，最小者为最小值.

●点击双基

(2004年江苏，10)函数f(x)=x3

-3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是

A.1，-1 B.1，-17 C.3，-17 D.9，-19

解析：f'(x)=3x2

-3=0，x=±1，f(-3)=-17，f(0)=1，f(1)=-1，f(-1)=3.

答案：C

2.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值是

A.-37 B.-29 C.-5 D.以上都不对

解析：f'(x)=6x(x-2)，f(x)在(-2，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数的，

x=0时，f(x)=m最大.

∴m=3，f(-2)=-37，f(2)=-5.

答案：A

3.已知函数y=x3+ax2

+bx+27在x=-1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b=________.

解析：y′=3x2+2ax+b，-1、3是3x2

+2ax+b=0的两根，∴a=-3，b=-9. 答案：-12

●典例剖析

(2004年天津，20)已知函数f(x)=ax3+bx2

-3x在x=±1处取得极值. (1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值; (2)过点A(0，16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.

剖析：(1)分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右f'(x)的符号.

(2)要分清点A(0，16)是否在曲线上.

解：(1)f'(x)=3ax2+2bx-3，依题意，f'(1)=f'(-1)=0

解得a=1，b=0.

∴f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2

-3=3(x+1)(x-1). 令f'(x)=0，得x=-1，x=1. 若x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，则f'(x)>0，

故f(x)在(-∞，-1)上是增函数，f(x)在(1，+∞)上是增函数. 若x∈(-1，1)，则f'(x)<0，故f(x)在(-1，1)上是减函数.

所以f(-1)=2是极大值，f(1)=-2是极小值.

(2)曲线y=x3-3x，点A(0，16)不在曲线上，设切点M(x0，y0)，则y0=x03-3x.

∵f'(x0)=3x02-3，

∴切线方程为y-y0=3(x02-1)(x-x0).

代入A(0，16)得16-x03+3x0=3(x02-1)(0-x0). 解得x0=-2，∴M(-2，-2)，切线方程为9x-y+16=0.

评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.

以上内容就是高三数学课文导数的综合问题教案，希望对大家有所帮助。